ES_CriFlow - 증기의 압축성 유동 해석 엔진, Rev. 2

1. 서론

2. 기본 유체 역학 방정식

 

2.1 에너지 방정식

 

2.2 연속 방정식

 

2.3 운동 방정식

 

2.4 음속 계산식

3. 질식 유동(Choked Flow)

4. 이상 기체의 압축성 유동 해석

 

4.1 노즐

 

4.2 오리피스

 

4.3 마찰이 존재하는 단열 배관

 

4.4 음속(Sonic Velocity)

 

4.5 면적이 다른 2 단면에서의 압축성 유동

5. 증기의 압축성 유동 해석

 

5.1 노즐

 

5.2 마찰이 존재하는 단열 배관

 

5.3 면적이 다른 2 단면에서의 압축성 유동


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1. 서론 (차례)

발전소 증기 배관 계통에는 비압축성 유동으로 해석해야 하는 배관과 압축성으로 해석해야 하는 배관이 있습니다.   주증기 계통(Main Steam System)과 같이 중요하지만 압력 강하가 적어 일반적인 비압축성 유동(Incompressible Flow)으로 해석이 가능한 계통이 있는 반면, 안전변 배기 배관(Safety Valve Vent Stack)과 같이 일견 중요하지 않게 생각되지만 임계 유동(Critical Flow)이 형성되어 압축성 유동(Compressible Flow)으로 해석해야 하는 까다로운 계통도 있습니다.   

일견 중요하지 않게 보이는 계통 배관일지라도 발전소의 모든 배관 계통은, 발전소의 정상적이고 안전한 운전을 위해 원활히 제 기능을 다하여야 하므로, 발전소 배관 계통 설계를 위해서는 반드시 증기의 압축성 유동과 그 해석 방법에 대한 이해가 필요합니다.

이상 기체에 대한 압축성 유동 해석은 이미 정립되어 있습니다.   하지만, 증기의 경우 과열도(Superheat Degree)가 높은 경우에는 이상 기체와 유사하게 유동하나, 습증기를 포함하는 포화 증기의 경우에는 이상 기체의 유동과는 상당한 차이를 나타냅니다.   특히 포화 수가 배관 마찰 손실에 의해 강제 증발되면서 발생하는 2상(Two Phase) 압축성 유동의 경우에는 이상 기체 유동으로부터 상당히 벗어납니다.

이러한 까닭에, 안전변 배기 배관이나 급수 가열기 배수 배관 해석을 다룬 많은 문헌들이, 이상 기체의 압축성 유체 유동 방정식들을 기본으로 사용하되, 여러 가지 실험식이나 조정 계수들을 사용해 가능한 한 실제 증기의 압축성 유동과 유사한 결과를 얻고자 노력하였습니다.  그러다 보니 동일한 증기의 압축성 해석인데도 불구하고 서로 다른 식을 사용하는 경우도 있으며, 증기의 상태에 따라 서로 다른 식과 방법을 사용합니다.   특히, 포화수의 압축성 유동을 다루는 급수 가열기 배수 배관 유동의 해석에 있어서는, 그 해석 방법이나 결과에 대한 신뢰도가 떨어지고, 단지 실제 유동보다 보수적인 결과를 나타낸다는 데에 만족할 수밖에 없었습니다.

이제까지의 문헌들이 이러한 단점을 나타낼 수밖에 없는 이유는, 상태 변화를 하나의 식으로 나타낼 수 없는 증기의 유동을 하나의 식으로 표현하고자 하는데서 비롯됐습니다.   그리고 그렇게 증기의 유동을 하나의 식으로 표현하고자 노력할 수밖에 없었던 이유는, 일반 엔지니어들이 쉽게 컴퓨터를 사용할 수 없었고 단지 수 계산에 의존할 수밖에 없었기 때문입니다.   하지만, 지금은 이전에 대형 컴퓨터에서만 가능했던 계산 속도를 일반 개인용 컴퓨터에서 얻을 수 있습니다.   

ES_CriFlow는, 기본 유체 역학 이론과 증기 표를 사용해 시행 착오법을 통해 증기의 압축성 유동을 아무런 가정없이 개인용 컴퓨터에서 해석할 수 있도록 ENGSoft Inc.에서 개발한 엔진입니다.  기본 유체 역학 이론과 증기 표의 데이터를 접목해 해석하므로, ES_CriFlow는 포화 증기 고압 과열 증기를 포함해 모든 증기의 압축성 유동을 동일한 방법으로 정확하게 해석합니다.

ES_CriFlow 해석 결과의 유효성은, 참조 문헌들에 기술되어 있는 기존의 해석 방법에 의한 해석 결과와 실험 결과와의 비교를 통해 확인하였으며, 비교 검증 결과는 별도의 웹 페이지에 올려 놓았습니다.(ES_StmNzl 및 ES_StmPipe 프로그램 검증).

본 웹 페이지에서는 ES_CriFlow의 기초가 되는 기본 유체 역학 이론과 이상 기체의 해석 방법을 소개하고, 그러한 이론과 해석 방법을 ES_CriFlow에서 증기 표와 어떻게 접목해 구현하였는지 소개하고자 합니다.

 

2. 기본 유체 역학 방정식 (차례)

이론 근거를 알아보기 위하여, 이상기체나 증기에 모두 적용되는 압축성 유동의 기본 유체 역학 방정식에 대해 살펴보기로 하겠습니다.

노즐이나 단열 배관 유동을 해석할 때 다음의 3가지 방정식을 사용합니다.

- 에너지 방정식 / 열역학 제1법칙 (Energy Equation / The 1'st Law of Thermodynamics)

- 연속 방정식 (Continuity Equation)

- 운동 방정식 (Momentum Equation)

이들 3가지 방정식 외에, 유동에 있어서 엔트로피는 같거나 항상 증가한다는 열역학 제2법칙도 적용됩니다.  즉, 노즐의 경우에는 마찰이 무시할 정도로 작으므로 등엔트로피 과정으로 해석하며, 마찰이 존재하는 단열 배관의 경우에는 유동이 등엔트로피 과정과 등엔탈피(총엔탈피 기준) 과정 사이의 과정으로 해석합니다.

한편, 소개되는 방정식은 1차원 정상류 유동(One-dimensional, Steady Flow)에 적용되는 방정식입니다.

 

2.1 에너지 방정식 (차례)

유동의 일반 에너지 방정식은 다음과 같습니다.

q + w = du + d(p * v) + d(V^2 / 2/ g) + d(h)

(주)

q

: 단위 질량당 가해진 열량 (Heat added per mass of flowing fluid)

 

w

: 단위 질량당 가해진 일 (Work added per mass of flowing fluid)

 

u

: 내부 에너지 (Internal Energy)

 

p

: 정압 (Static Pressure)

 

v

: 비체적 (Specific Volume)

 

V

: 유속 (Fluid Velocity)

 

h

: 위치 수두 (Elevation Head)

단열(Adiabatic) 과정이므로 q = 0이며, 외부에서 가해지는 일이 없으므로 w = 0입니다.   엔탈피의 정의에 의해 du + d(pv) = dH 이며, 압축성 유체의 경우 비체적이 커서 위치 수두에 의한 영향은 무시할 수 있을 정도로 작으므로 d(h)는 무시할 수 있습니다.

그러므로 이러한 일반 에너지 방정식을, 노즐이나 단열 배관의 압축성 유동에 적용할 수 있는 에너지 방정식으로 정리하면 다음과 같습니다.

d(H) + d(V^2 / 2 / g / J) = 0

(주)

H

: 엔탈피 (Enthalpy), kcal/kg

 

V

: 유속(Fluid Velocity), m/sec

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

J

: Joule 상수, 427 kg-m/kcal

위 식을 풀어서 얘기하면, 노즐이나 배관에서 증기의 유속이 빨라지면, 그 유속에 해당하는 에너지만큼 증기의 엔탈피가 감소한다는 것을 의미합니다.  즉, 증기의 유속이 빨라지는 것은 엔탈피의 소비에 의해서 일어난다는 것입니다.  그리고, 이 방정식은 노즐이나 배관에 마찰이 존재하건 존재하지 않건, 단열 과정이면 모두 적용되는 방정식입니다.

유속이 0 인 경우에 엔탈피 값이 최대 값을 가지며, 이때의 엔탈피 값을 총 엔탈피(Total Enthalpy)라고 하며, 유로의 어느 한 지점에서의 총 엔탈피와 엔탈피, 유속의 관계 식은 다음과 같습니다.

Ht = H + V^2 / 2 / g / J

(주)

Ht

: 총 엔탈피 (Total Enthalpy), kcal/kg

즉, 속도에너지는 엔탈피가 변한 값이며, 단열 과정의 경우 총 엔탈피 값은 전 과정에 걸쳐 일정합니다.

 

2.2 연속 방정식 (차례)

연속 방정식은 모든 유동에 적용되며, 다음과 같습니다.

W / A = V / v

(주)

W

: 질량 유량 (Mass Flow Rate), kg/sec

 

v

: 비체적 (Specific Volume), m3/kg

 

V

: 유속, m/sec

 

A

: 유로 단면적, m2

 

2.3 운동 방정식 (차례)

마찰이 존재하는 유로 에서의 흐름에 대한 운동 방정식은 다음과 같습니다.

A * dP = τ* 3.14 * D * dL + W * dV / g

(주)

A

: 유로 단면적

 

dP

: 압력 차

 

τ

: 유로 벽면 전단 응력 (Wall Shear Stress)

 

dL

: 유로 길이 차

 

D

: 유로 직경 혹은 수력 직경(Hydraulic Diameter)

 

g

: 중력 가속도

 

W

: 질량 유량

 

dV

: 유속 차

운동 방정식의 첫 번째 항(A * dP)은 압력 차에 의해 유체가 흐르도록 하는 힘을 나타내며, 두 번째 항(τ* 3.14 * D * dL)은 유체의 흐름에 저항하는 마찰력을 나타내며, 세 번째 항(W * dV / g)은 압력 강하에 의한 비체적 증가에 의해 유속이 빨라짐으로써 유체에 가해진 운동량의 증가를 나타냅니다.

즉 압력 강하에 의한 힘이, 유로의 마찰력을 극복하는 힘과 유체의 운동량을 증가시키는데 사용됨을 의미하는 방정식입니다.

위 식의 마찰 항에 τ= f * V^2 / v / 8을 대입한 후, 유로 단면적이 일정하다는 가정하에 전체 항을 A 혹은 3.14 * D^2 / 4 로 나누고, 양변에 비체적 v를 곱해 정리하면 다음과 같습니다.

v * dP = f * dL / D * V^2 / 2 / g + W / A * v * dV / g

(주)

A

: 유로 단면적, m2

 

dP

: 압력 차, kg/m2

 

f

: 마찰 계수 (Friction Factor)

 

dL

: 유로 길이 차, m

 

D

: 유로 직경 혹은 수력 직경(Hydraulic Diameter), m

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

dV

: 유속 차, m/sec

 

W

: 질량 유량, kg/sec

 

v

: 비체적, m3/kg

위 식은 각항의 부호가 (+) 값이 되도록 정리한 것입니다.

 

2.4 음속 계산식 (차례)

압축성 유동에서는 임계 유동 여부를 판단하기 위하여 임계 압력을 계산하며, 이러한 임계 압력 계산에 음속 계산식이 필요합니다.    압축성 유체에서의 음속은 다음과 같이, 해당 상태에서 압력이 등엔트로피 과정으로 미소하게 변할 때의 밀도 변화 양의 역수로 표시됩니다.

Velc = (dP / dRo * g)^0.5  @ isentropic infinitesimal change

(주)

Velc

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

dP

: 압력 변화, kg/m2

 

dRo

: 압력 변화에 따른 밀도 변화, kg/m3

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec2

 

3. 질식 유동 (Choked Flow) (차례)

질식 유동이란 노즐이나 배관의 배압(Back Pressure)을 더 낮추어도 유량은 증가하지 않는 유동을 일컫습니다.  이는 유로 상의 유속이 압력파 전달 속도인 음속과 동일해져서, 배압의 변화가 더 이상 상류측으로 전달되지 않아 발생하는 현상입니다.   유체의 압력파 전달 속도는 음속과 동일합니다.  

유로를 지나는 압축성 유체의 유동에서 하류측의 압력이 질식 압력에 도달하기 전까지는 배압을 낮추면 낮출수록 유량이 증가합니다.  하지만, 일단 배압이 질식 압력에 도달하면 더 이상 배압을 낮추어도 유량은 증가하지 않습니다.   이렇게 배압이 질식 압력보다 낮은 상태에서의 유동을 질식 유동(Choked Flow)이라고 합니다.

질식 유동에서 노즐이나 배관의 출구 단면 압력(P2)은 배압(P3)과 같거나 높게 유지되는데, 이러한 압력 차이에 따른 에너지 차이는 충격파(Shock Wave)나 난류 유동(Turbulent Flow)에 의해 소멸됩니다.

노즐에서의 예를 들어, 압축성 유체 유동의 압력, 유량 및 유속의 상관 관계를 표시하면 다음과 같습니다.

유동

압력

유량

유속

아임계 유동

(Sub-critical Flow)

P2 = P3 > Pc

F < Fc

Vel2 < Velc

질식 유동

(Choked Flow)

P2 = Pc > P3

F = Fc

Vel2 = Velc

주)

Pc

: 질식 압력 (Choked Pressure)

 

Fc

: 질식 유량 (Choked Flow Rate)

 

Velc

: 질식 유속 = 음속 (Choked Velocity = Sonic Velocity)

노즐의 경우 질식 유동 상태에서 일반 축소 노즐 대신에 축소-확대 노즐(de Laval Nozzle)을 사용하면 초음속 유동(Super-critical Flow)을 얻을 수 있습니다.   하지만, 이러한 초음속 유동은 발전소 설계에서는 일반적으로 사용하지 않습니다.

노즐이나 배관의 압축성 유체 유동을 해석하는 경우에는 우선 질식 압력(Pc)을 계산하여, 배압(P3)이 질식 압력보다 큰지 작은지를 판단해야 합니다.   그리고, 배압이 질식 압력보다 큰 경우에는(P3 >= Pc) 우리가 일반적으로 생각하는 유동과 같이 노즐이나 배관의 출구 압력을 배압과 동일하게 놓고(P2 = P3)  계산하며, 만일 배압이 임계 압력보다 작은 경우, 즉 질식 유동의 경우에는(P3 < Pc), 배압에 관계없이 노즐이나 배관의 출구 압력을 질식 압력으로 놓고(P2 = Pc)로 놓고 계산해야 합니다.

한편, 오리피스의 경우에는 사실상 임계 압력이 존재하지 않습니다.   즉 배압이 낮으면 낮을수록 유량이 증가합니다.    오리피스의 경우 배압이 낮아 유속이 충분히 빨라지면 오리피스 끝단(Orifice Edge)에서 발생하는 마찰열이 팽창하는 유체로 다시 흡수되어 유체의 온도가 등엔트로피 과정으로 팽창하는 노즐보다 상승하게 되고, 이는 동일한 단면적인 경우 통과 질량 유량이 줄어드는 효과를 나타냅니다.  이러한 이유로 오리피스의 경우 배압이 0 (Zero)이 되더라도 질식 유동 현상은 일어나지 않습니다.  하지만, 배압이 입구 압력의 50% 정도되는 상태에서의 질량 유량이, 배압이 0 일 때의 유량보다 약 12% 정도밖에 크지 않으므로, 오리피스의 경우 질식 유동이 존재하지 않는다 할지라도, 일반적인 기체의 질식 압력인 입구 압력의 50% 이하로 배압이 낮아지는 경우 질량 유량의 증가량은 크지 않습니다.

 

4. 이상 기체의 압축성 유동 해석 (차례)

 

< 이상기체 상태 방정식 >

계산 과정에서 압력(P)와 온도(T)를 알 때, 해당 상태의 비체적(v), 엔탈피(H), 엔트로피(S), 음속(SonicVel) 값은 아래 이상기체 상태 방정식으로 계산합니다.

v = Ru / MW * T / P / 100, m3/kg

H = Ru / MW * k / (k-1) * (T - 273.15), kJ/kg 273.15 K 기준 엔탈피

S = Ru / MW * k / (k-1) * Ln(T/273.15) - Ru / MW * Ln(P/1.01325), kJ/kg/K 273.15 K, 1.01325 bara 기준 엔트로피

SonicVel = Sqr(k * g * J * P * v) * 100 = Sqr(k * Ru / MW * T / 10) * 100, m/sec

 

< 범례 >

W/A

: 단위 면적당 질량 유량, kg/sec/m2 (W/Ac = 질식 상태의 W/A)

약자(단위)

: 압력 P(bara), 온도 T(oK), 엔탈피 H(kJ/kg), 엔트로피 S(kJ/kg/K), 비체적 v(m3/kg), 유속 Vel(m/sec), 마하 수(Mach)

 

엔탈피는 273.15 oK 온도 기준, 엔트로피는 273.15 oK 온도 및 10.1325 bara 압력 기준

P0, T0 등

: 이상기체 원천(Source) 상태 값, 예를 들면 P0는 이상기체 원천의 압력

P1, T1 등

: 배관 입구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 T1은 배관 입구 온도

Pc, Hc 등

: 이상기체 질식(Choking) 상태 값, 예를 들면 Hc는 질식(Choking) 상태 엔탈피

P2, H2 등

: 배관 출구 단면 혹은 노즐 목 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 H2는 배관 출구 단면 혹은 노즐 목 단면 엔탈피

P3

: 배관 혹은 노즐 출구 배압 (Back Pressure)

K

: 배관 마찰 저항 계수 = f L/D (f : 마찰 계수, D : 배관 직경, L : 배관 길이)

 

  Kc : 질식 상태 배관의 마찰 저항 계수

 

  K_image : 아임계 상태 가상 배관의 마찰 저항 계수 차이

g

: 중력 가속도(9.80665), m/sec2

J

: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ

SonicVel

: 음속(Sonic Velocity), m/sec

MW

: 몰 중량(Mole Weight), 물 MW = 18

k

: 비열 비 (Cp/Cv)

Ru

: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole

dH

: Vel0에 상당하는 엔탈피 값, kJ/kg

r

: 노즐 압력비 (Pressure Ratio) = P2 / P0

 

4.1 노즐 (Nozzle)

4.1.1 질식 압력(Choked Pressure) 및 노즐 목 압력(P2)

우선 질식 유동 여부를 확인하기 위하여 질식 압력을 계산합니다.  등엔트로피 과정으로 팽창하는 이상 기체의 질식 압력은 다음 식으로 계산합니다.

Pc = (2 / (k + 1))^(k / (k - 1)) * P0

위 식으로 계산한 질식 압력과 노즐 하류측 배압(P3)를 비교하여, 노즐 출구 단면 압력 P2를 선정합니다.

 

4.1.2 단위 면적당 질량 유량

앞에서 설명한 에너지 방정식과 연속 방정식, 그리고 이상 기체의 상태 방적식 (P * v = R * T)을 이용해, 노즐 유동을 등엔트로피 과정(P * v^k = Const.)으로 해석하면 다음과 같은 노즐 유량 계산 식을 구할 수 있습니다.

W/A = (2 * g * k / (k - 1) * P0 / v0 * J * (r^(2/k) - r^((k+1)/k)))^(0.5) * 10

 

마찰이 존재하지 않는 경우에 에너지 방정식과 운동 방정식은 동일한 내용을 나타냅니다.  그러므로, 노즐 유동에서는 운동 방정식을 사용하지 않았습니다.

한편, 앞에 설명된 노즐의 질식 압력은, 위의 노즐 유량 공식에서 W/A 값이 최대 값을 갖는 압력비로부터 구한 값입니다.

 

4.2 오리피스 (Orifice) (차례)

앞에서 설명하였듯이, 오리피스에는 임계 유동이 존재하지 않으며, 그 유량 계산은 다음 식으로 할 수 있습니다.

Y = 1 - 0.41 * (P1 - P2) / P1 / k

W / A = 0.598 * Y * (2 * g * (P1 - P2) / v1)^(0.5)

 

4.3  마찰이 존재하는 단열(Fanno) 배관 (차례)

배관과 노즐이 다른 점은 마찰과 열 손실이 존재한다는 점입니다.   마찰이 존재한다는 것은 과정이 등엔트로피 과정이 아니라는 것을 의미하여, 열 손실이 존재한다는 것은 등엔탈피 과정이 아니라는 것을 의미합니다.   

배관 해석에서 마찰은 항상 존재하나, 열 손실은 경우에 따라 고려 대상이 될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.   열 손실을 고려해야 하는 해석은 송유관이나 천연 가스 이송 관과 같이 장거리 배관에서 필요하며, 발전소에는 열 손실을 고려해야 할 정도로 긴 배관은 없습니다.

마찰과 열 손실을 모두 고려한 이상 기체 유동 해석 공식을 Rayleigh Line 공식이라 하며, 열 손실은 고려하지 않고 마찰 손실만 고려한 이상 기체 유동 해석 공식을 Fanno Line 공식이라고 하는데, 여기서는 발전소에 적용이 가능한 Fanno Line 공식을 소개하기로 하겠습니다.

Fanno Line 공식은 일정한 단면적의 유로를 흐르는, 마찰 손실이 존재하는 단열 과정(Adiabatic Process)의 이상 기체 임계 유동을 나타내는 공식이며, 공식 유도에서 사용된 가정은 다음과 같습니다.

한글

영어

비열비(k = cp/cv)가 일정한 이상 기체

Perfect gas (constant specific heat)

1차원 정상류 유동

Steady, one-dimensional flow

전 유로에 걸쳐 일정한 마찰 계수

Constant friction factor over length of conduit

단열 유동(벽을 통한 열전달 없음.)

Adiabatic flow (no heat transfer through wall)

원형 유로가 아닌 경우에, 유효 직경 D는 수력 반경(유동(Flow) 단면적 / 젖은 둘레 길이)의 4배로 계산

Effective conduit diameter D is four times hydraulic radius (cross-sectioned area divided by wetted perimeter)

위치 수두의 변화는 마찰 손실에 비해 무시할 정도로 작음.

Elevation changes are unimportant compared with friction effects

일의 출입이 없음.

No work added to or extracted from the flow

유의할 점은, Fanno Line 공식은 임계 유동, 즉 출구의 유속이 음속 즉, 마하 수(Mach No.)가 1인 질식 유동에 대한 공식이라는 점입니다.

 

4.3.1  Fanno Line 공식

아래 그림에 나타난 바와 같이, 질식 유동(혹은 임계 유동, Critical Flow)인 경우 배관 출구 단면 압력(P2)을 임계 압력(Pc)이라고 칭하며, 출구 단면 유속은 음속, 즉 마하 수(Mach No.) 1입니다.  이러한 질식 유동이 존재하려면 출구 배압(P3)은 임계 압력보다 낮아야 합니다.   출구 배압이 임계 압력보다 높으면, 질식 상태가 될 수 없으며, 다음에 설명되는 아임계(Sub-Critical) 상태가 됩니다.  아임계 상태는 출구 단면 유속이 음속보다 낮은 유속 상태를 일컫습니다.   

앞에서 설명한 에너지 방정식과, 연속 방정식, 운동 방정식, 그리고 이상 기체의 상태 방적식 (P * v = R * T) 및 음속 계산 식 (Vc = (k * g * R * T)^(0.5))을 이용해, 배관 입구 마하 수(M1)와 배관의 마찰 저항 계수(K), 그리고 비열비(k)의 관계를 나타내는 Fanno Line 공식은 다음과 같습니다.

K = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))

 

임계 압력비, 임계 속도비 및 임계 온도비를 배관 마하 수(M1)의 항으로 표시한 식들은 다음과 같습니다.

Pc / P1 = M1 * (((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

Vc / V1 = 1 / M1 * (((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

Tc / T1 = ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1)

 

4.3.2 질식 유동(Choked Flow)

우리가 설계에서 다루는 문제들은, 단열 배관 전단에 우리기 이미 알고 있는 어떤 상태의 이상 기체가 있는 경우입니다.  그리고 그 상태가 정지 상태일 경우도 있고, 어느 일정 유속을 가지고 있는 상태일 수도 있습니다.   앞서 2.1항의 에너지 방정식에서 설명한 바와 같이, 단열 배관의 경우 유속은 엔탈피의 또 다른 형태의 에너지로서, 엔탈피로 환산할 수 있습니다.  그러므로, 단열 배관 전단의 상태가 유속을 가지고 있는 경우에는, 해당 유속을 엔탈피로 환산해서 총 엔탈피를 계산합니다.   

유속을 압력이나 온도로도 환산할 수 있지만, 엔탈피로만 환산하는 이유는 단지 계산의 편리성을 위한 것입니다.   압력과 온도는 엔트로피 계산이나 운동 방정식 계산에 직접적인 영향을 미치므로, 유속을 압력이나 온도로 환산하여 실제 존재하는 압력과 온도를 왜곡하면, 엔트로피 계산이나 운동 방정식을 왜곡시키게 되어, 해석을 왜곡시키게 됩니다.

이와 같은 맥락에서, 다음의 설명에서는 단열 배관의 전단 유속(V0)이 0 이 아닌 경우에는 해당 유속을 엔탈피로 환산해서, 압력(P0)과 온도(T0)에 의한 엔탈피에 더한 엔탈피(H0)를 기준으로 설명합니다.  즉, 다음 설명에서의 H0 값은 V0 = 0 인 상태의 엔탈피 값입니다.

 

우리가 설계에서 다루는 문제는 다음 2가지 경우의 문제입니다.

1) 단열 배관이 어떤 이상 기체 원천(Source)에 바로 연결되어, 단열 배관을 통해 흐를 수 있는 최대 유량이 흐르는 경우입니다.  Steam Blowing하는 경우, 보일러 드럼으로부터 영구 배관과 가설 배관을 통해 대기 중으로 증기가 방출되는 경우가 이 경우입니다.   이 경우, 배관을 통해 흐를 수 있는 최대 유량이 흐르며, 이상 기체 원천과 단열 배관 입구 단면은 등엔트로피 과정으로 해석합니다.   이 경우는, 이상 기체 원천과 단열 배관 사이에 등엔트로피 팽창을 하는 노즐이 설치되어 있다고 가정하는 경우입니다.  이 경우가 해당 단열 배관을 통해 흐를 수 있는 최대 유량이 됩니다. (아래 그림 자유 유량 - Free Flow)

2) 또 다른 경우는, 단열 배관을 통해 지정된 유량(W/A)이 흐르는 경우입니다.  이 경우 지정 유량은 상기 1)항의 최대 유량과 같거나 작아야 합니다.   안전변을 통해 제어된 유량이 배기 배관을 통해 흐르는 경우가 이 경우에 해당됩니다.  안전변을 통해 배출되는 증기 유량이, 배기 배관이 흘릴 수 있는 최대 유량보다 작은 경우가 이 경우에 해당됩니다.   이 경우 단열 배관 입구 단면의 엔트로피 값이 원천의 엔트로피 값과 같거나 큽니다.  즉, 이상 기체 원천과 단열 배관 입구 단면 사이의 과정은 등엔트로피 과정이거나(지정 유량이 최대 유량과 같은 경우), 폴리트로픽 과정(지정 유량이 최대 유량보다 작은 경우)입니다. (아래 그림 지정 유량 - Given Flow)

 

 

질식 압력은, 자유 유량인 경우와 지정 유량인 경우가 동일하지 않습니다.   먼저 자유 유량인 경우를 설명하면 다음과 같습니다.

1) 아래 Fanno Line 공식에서 K 값이 주어진 K 값과 동일해지는 M1 값을 시행 착오법으로 구합니다. 엑셀을 사용하는 경우 시행 착오법 계산은 "목표값 찾기" 기능을 사용하면 됩니다.

K = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))

2) 아래 식에서 볼 수 있듯이, M1 값은 T1의 함수입니다.  아래 식들을 순차적으로 계산해서 상기 1)항에서 구한 M1 값과 동일한 M1 값이 계산되는 T1 값을 시행 착오법으로 구합니다.

H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15) - 이상 기체 상태 방정식>

Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J) - 에너지 방정식

SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100 - 이상 기체 음속 계산식

M1 = Vel1 / SonicVel1 - 마하 수의 정의

3) 자유 유량인 경우 0 지점과 1 지점 사이 과정은 등엔트로피 과정입니다.  그러므로, 상기 2)항에서 구한 T1 값을 가지고, 아래의 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식을 사용하여 P1 값을 계산합니다.

P1 = (T1 / T0)^(k/(k-1)) * P0 - 이상기체의 등엔트로피 팽창 과정 식

4) 상기 2)항과 3)항에서 구한 T1, P1 값을 가지고, Fanno Line 공식 가운데 아래의 압력비 및 온도비 공식을 사용하여 질식 압력(Pc)과 질식 온도(Tc) 값을 계산합니다.

Tc = T1 * (1 + (k - 1) / 2 * M1 ^ 2) * 2 / (k + 1)

Pc = P1 * M1 * Sqrt(Tc / T1)

 

지정 유량인 경우에는, 상기 1), 2), 4)항 등은 자유 유량의 경우와 동일하며, 단지 3)항만 아래와 같이 다릅니다.  

3) 지정 유량인 경우 0 지점과 1 지점 사이 과정은 폴리트로픽 과정입니다.  그러므로, 상기 2)항에서 구한 Vel1 값과 지정 유량 W/A 값을 가지고 연속 방정식을 사용하여 아래와 같이 P1 값을 계산합니다.  이렇게 계산된 P1 값은 자유 유량으로 구한 P1 값과 같거나 작습니다.

v1 = Vel1 / W/A - 연속 방정식

P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100 - 이상 기체 상태 방정식

 

상기 4)항에서 계산된 Pc 값이 단열 배관의 배압인 P3 값과 같거나 크면, 단열 배관 출구 단면의 유속이 음속과 동일한 질식 상태가 되며, 4)항에서 구한 Pc, Tc 값이 단열 배관 출구 단면의 압력과 온도인 P2, T2 값이 됩니다.

반면에, 계산된 Pc 값이 배압 P3 값보다 작으면, 배관 출구 단면의 유속이 음속보다 작은 아임계 유동 상태가 됩니다.  그리고, 이 경우 배관 출구 단면의 압력 P2 값은 배압인 P3 값과 같아집니다.

 

4.3.3 아임계 유동 (Sub-critical Flow)

배관 유동이 아임계 유동인 경우, 배관 출구 단면 압력 P2는 배압 P3와 동일하며, 출구 유속은 음속보다 작습니다.    Fanno Line 공식은 질식 유동에 대한 공식이므로, 아임계 유동을 하는 배관을 직접적으로 해석할 수는 없습니다.  

그래서 사용하는 해석 방법이, 아래 그림과 같이 실제 배관의 하류측에 질식 유동이 발생하는 가상의 배관을 가정하여 해석하는 방법입니다.

즉 지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지의 질식 유동과 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지의 질식 유동 배관에 대한 Fanno Line 공식을 이용하여 해석하는데, 그 기본 개념은, "지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수(Kc)는, 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지 질식을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수(K_image)에 실제 배관의 마찰 저항 계수(K)를 더한 값과 같다" 라는 개념을 이용하여 해석합니다.

Kc = K_image + K

(주)

Kc

: 지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수

 

K_image

: 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수

 

K

: 실제 배관의 마찰 저항 계수

이상 기체의 아임계 유동은 미리 알지 못하는 가상 배관을 사용하여 해석하므로, 좀 더 복잡한 시행 착오에 의한 반복 계산을 해야 합니다.

이러한 반복 계산 방법을 다음과 같이 별도의 페이지에 정리하였습니다.   동 페이지에는 질식 유동과 아임계 유동에 대한 내용이 함께 기술되어 있으며, 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 계산 예제 값들이 표시된 페이지도 작성하였습니다.

이상기체 단열 배관의 자유 유동(Free Flow) 본문

이상기체 단열 배관의 자유 유동(Free Flow) 계산 예제

 

이상기체 단열 배관의 주어진 유량(Given Flow) 본문

이상기체 단열 배관의 주어진 유량(Given Flow) 계산 예제

 

4.4 음속 (Sonic Velocity) (차례)

앞에서 기술된 일반 음속 계산 식을 일반 열역학 이론을 사용해 정리하면 다음과 같이 표시됩니다.

Vc = (dP / dRo * g)^0.5  @ isentropic infinitesimal change

    = (k * dP / dRo * g)^(0.5) @ isothermal infinitesimal change

이상 기체 상태 방정식 (P * v = R * T)을 이용해 위의 등온 과정 식을 적분하면, 다음과 같은 이상 기체의 음속 식을 구할 수 있습니다.

Vc = (k * g * R * T)^(0.5) = (k * g * P * v)^(0.5)

(주)

Vc

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

k

: 비열비, cp/cv

 

R

: 기체 상수, R = R0 / M

R0

: 전역 기체 상수 (Universal Gas Constant = 8314 J/kg mol / K)

M

: 기체의 몰 중량, kg

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec2

 

T

: 기체 온도, degree Kelvin

 

P

: 기체 압력, kg/m2 abs.

 

v

: 기체 비체적, m3/kg

 

4.5 면적이 다른 2 단면에서의 압축성 유동 (차례)

유체가 면적이 다른 2 단면을 흐를 때, 벽체와의 마찰 저항과 함께 와류에 의한 유동 저항이 작용합니다.

2 단면이 갑작스럽게 변화하는 경우에는 벽체와의 마찰 저항은 전혀 존재하지 않으며, 2 단면이 천천히 변화하여 유체가 벽체와 접촉한다 하여도 대부분 그 길이가 짧아, 와류에 의한 유동 저항을 무시할 정도로 벽체와의 마찰 저항이 크지는 않습니다.   그러므로, 면적이 다른 2 단면에서의 유동을 해석하는 경우에는, 와류에 의한 유동 저항과 벽체와의 마찰 저항 모두를 고려하여 해석합니다.

한편, 벽체와의 마찰 저항이 존재하지 않으며 단지 와류에 의한 유동 저항만이 존재하는 경우, 비록 벽체를 통한 열전달이 없는 단열 과정(Adiabatic Process)일지라도, 이는 등엔트로피 과정(Isentropic Process) 즉 가역 단열 과정(Reversible Adiabatic Process)이 아니며, 엔트로피가 증가하는 비가역 단열 과정(Irreversible Adiabatic Process)입니다.  등엔트로피 과정인 가역 단열 과정인 경우 압력과 비체적의 관계가 P * v^k = Constant의 관계가 성립하지만, 비가역 단열 과정인 경우에는 일을 하지 않는 일종의 폴리트로픽 과정으로 P * v^m = Constant 의 관계가 성립되며, m의 값은 일반적으로 가역 단열 지수인 k 값보다 큽니다.

와류에 의한 유동 저항이란, 유체 분출에 의한 국부적인 저압에 의해 자유로운 팽창을 하지 못해 엔트로피를 증가시킨다는 면에서는 벽체와의 마찰 저항과 동일한 작용을 하지만 그 해석 방법은 다릅니다.   즉, 벽체와의 마찰 저항은 유체에 작용하는 외부 힘이므로, 운동량 방정식으로 해석할 수 있지만, 와류에 의한 유동 저항은 실제로 유체에 작용하는 외부 힘이 아니고 압력 차에 의한 유동 장애이므로, 유체에 작용하는 힘의 평형을 나타내는 운동량 방정식으로는 해석할 수 없으며, 압력과 운동의 관계를 나타내는 Euler의 운동 방정식으로 해석해야 합니다.

사실상 Euler의 운동 방정식과 운동량(Momentum) 방정식은 동일한 방정식입니다.   단지 다른 점은, Euler의 운동 방정식은 압력(= 수두)항으로 표시하는 반면 운동량 방정식은 힘(Force)의 항으로 표시하는 점입니다.

앞 절에서 노즐의 경우 등엔트로피 과정으로 해석하였는데, 노즐의 경우에는 등엔트로피 과정으로 해석해도 무리가 없는 이유는, 노즐 단면은 유선형으로 제작되므로 와류에 의한 유동 저항이 발생하지 않으며, 그 길이도 매우 짧아 벽체와의 마찰 저항도 무시할 수 있기 때문입니다.

 

4.5.1 비압축성 유체에서의 해석 방법 (차례)

A. 확대 단관 (Increaser)

면적이 다른 2 단면에서의 유동을 이해하기 위하여 우선, 단면적이 급변하는 확대 단관(Increaser)에서의 비압축성 유체 해석 과정을 살펴보아야 합니다.

 

유동 단면적이 A1에서 A2로 급격하게 확대되면, 유체는 벽면에서 분리되어 어느 정도 진행한 다음에 하류측 벽면에 다시 붙게 됩니다.   유체가 벽면에서 떨어진 뒷부분의 압력은 하류측 압력보다 낮아져서 와류가 발생하게 되며, 흐름이 하류측으로 자유롭게 팽창하지 못하게 하는 저항으로 작용하게 됩니다.   이러한 유동 저항 값을 hf 라 하고, 지점 1과 지점 2 사이에 비압축성 유체의 운동 방정식인 베르누이 방정식을 세우면 다음과 같습니다. (단, 위치 수두 무시)

P1 * v + Vel1^2 / 2 / g = P2 * v + Vel2^2 / 2 / g + hf

위 식을 hf에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

hf = (Vel1^2 - Vel2^2) / 2 / g - (P2 - P1) * v      [식 4.5.1 - 1]

유동 저항 hf는 유체에 작용하는 외부 힘이 아니므로, 지점 1과 지점 2 사이에 운동량 방정식을 세우면 다음과 같습니다.

(P1 - P2) * A2 = W / g * (Vel2 - Vel1)   

연속 방정식 W = A2 * V2 / v를 위 식에 대입해 정리하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.

(P2 - P1) * v = Vel2 * (Vel1 - Vel2) / g      [식 4.5.1 - 2]

[식 4.5.1 - 1]과 [식 4.5.2 - 2]에서 압력 항을 소거하여 hf 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

hf = (Vel1 - Vel2)^2 / 2 / g = (1 - A1 / A2)^2 * Vel1^2 / 2 / g      [식 4.5.1 - 3]

위 식은 이론 식인데, 실제 실험에 의해 확인한 결과, 단면적이 급변하는 경우의 실제 유동 저항 값이 이론 값에 가깝다는 것이 확인되었습니다.

[식 4.5.1 - 3] 식을 살펴보면, 비 압축성 유체의 마찰 식인 Darcy 공식과 비교해 볼 때, 마찰 저항 계수 K 에 해당하는 값이 (1 - A1 / A2)^2 인 것을 알 수 있으며, 속도 수두가 지점 1의 유속에 대한 속도 수두이므로, 마찰 저항 계수는 지점 1의 유속 기준인 것을 알 수 있습니다.   한편, 지점 1의 유속 기준인 마찰 저항 계수를 지점 2의 유속 기준으로 환산하려면, 위의 마찰 저항 계수 값을 (A1 / A2)^2 로 나누면 됩니다.

위의 마찰 저항 계수는 벽면과의 마찰 저항이 존재하지 않는 경우의 마찰 저항 계수이며, 유체가 벽면과 접촉하기에 충분할 정도로 확대 각도가 작은 경우에는 유동 저항과 함께 마찰 저항도 존재합니다.   여러 문헌에 확대 단관에 대한 마찰 저항 계수 실험식들이 주어져 있는데, 그 가운데 가장 많이 사용되는 참고 문헌 1의 마찰 저항 계수 실험식을 소개하면 다음과 같습니다.

    θ <= 45 o  인 경우 (Aup 기준)

    K = 2.6 * Sin(θ/2) * (1 - Aup / Adown)^2

 

    45 o  < θ <= 180 o  인 경우 (Aup 기준)

    K = (1 - Aup / Adown)^2

 

위 식을 살펴보면, 확대 각도가 45o 이상인 경우에는 유동 저항만이 존재하며, 마찰 저항 계수도 이론 계수와 동일하다는 것을 알 수 있으며, 확대 각도가 45o 이하인 경우에는 유동 저항과 함께 마찰 저항이 존재하므로 마찰 저항 계수가 증가하는 것을 알 수 있습니다.  

 

B. 축소 단관 (Reducer) (차례)

단면적이 급변하는 축소 단관의 유동 형상은 다음 그림과 같습니다.

상류측 단면적 A1으로부터 유동 단면적이 작아질 때, 유체 관성에 의해 하류측 단면적 보다 작은 Ac 까지 유동 단면적이 수축한 다음, 다시 하류측 단면적 A2로 확대됩니다.   단면적이 줄어들면서 유체가 가속되는 A1과 Ac 사이의 유동은 유동 저항이 무시할 정도로 극히 작으며, 유체가 감속하는 Ac와 A2 사이의 유동에서, 확대 단관(Increaser)에서의 유동 저항과 동일한 저항이 발생합니다.

이렇게 축소 단관의 유동 저항은 축소 단면적(Ac)과 하류측 단면적(A2) 사이의 유동 저항이 주류를 이루며, 축소 단관의 축소 각이 작아지면 관성에 의한 Ac의 면적이 크게 줄지 않아 유동 저항은 무시할 정도로 작아지며, 대신에 축소 단관 길이에 의한 마찰 저항만이 존재하게 됩니다.

참고 문헌 1의 축소 단관에 대한 마찰 저항 계수를 소개하면 다음과 같습니다.

 

    θ <= 45 o  인 경우 (Adown 기준)

    K = 0.8 * Sin(θ/2) * (1 - Adown / Aup)

 

    45 o  < θ <= 180 o  인 경우 (Adown 기준)

    K = 0.5 * Sqr(Sin(θ/2)) * (1 - Adown / Aup)

 

축소 단관은 경사각에 관계 없이 항상 마찰 저항과 와류에 의한 유동 저항이 모두 존재하므로, 위의 식은 이들 두 저항을 모두 포함한 식이며, 단순히 와류에 의한 유동 저항만을 나타내는 식은 [식 4.5 - 4]에서 θ = 180o 을 대입해 얻는 다음 식과 같습니다.

    K = 0.5 * (1 - Adown / Aup)

 

4.5.2 이상 기체 해석 방법

위에 기술된 마찰 저항 계수들은 비 압축성 유체에 적용할 수 있는 마찰 계수들이며, 이를 이상 기체에 적용하기 위해서는 압력 강하에 따른 비체적의 변화를 고려해 주어야 합니다.   앞에서 설명하였듯이 확대 단관이나 축소 단관의 유동을 등엔트로피 과정으로 해석할 수 있다면 쉽게 몇 개의 식으로 해석이 가능하지만, 비록 단열 과정이지만 엔트로피가 증가하는 비가역 단열 과정에서는 이상 기체의 기본 식들을 이용해 시행 착오법으로 해석해야 합니다.

비가역 단열 과정에서 사용할 수 있는 식들은 다음과 같습니다.

1) 이상 기체의 상태 방정식

    P * v = R * T

2) 연속 방정식

    W / A = V / v

3) 에너지 방정식

    H0 = H + V^2 / 2 / g

4) 운동 방정식

    v * dP + (V1^2 - V2^2) / 2 / g - hf = 0

5) 엔탈피 식

    dH = cp * dT

6) 정압 비열 식

    cp = k * R / J / (k - 1)

6) 엔트로피 식

    dS = cp * Ln(T2 / T1) - R / J * Ln(P2 / P1)

엔탈피와 엔트로피의 값이 0이되는 기준 상태는 표준 대기압(= 10332 kgf/m2), 0 oC(= 273 oK)로 하며, 확대 단관이나 축소 단관의 하류측 지점 2의 상태는 이전의 하류측 배관 계산에 의해 이미 알고 있다는 가정하에서 시행 착오법으로 상류측 지점 1의 상태를 계산합니다.

확대 단관의 경우에는 상류측 지점 1의 유속이 하류측 지점 2의 유속보다 빠르므로, 지점 1의 압력이 지점 2의 압력보다 낮으며, 축소 단관의 경우에는 역으로 지점 1의 압력이 지점 2의 압력보다 높습니다.  한편, 확대 단관 지점 1의 압력은 임계 압력보다 낮아질 수 있으므로, 지점 1의 임계 압력을 계산하여 지점 1의 압력이 임계 압력보다 낮아지는 경우에는 지점 1의 압력을 임계 압력으로 선정해야 합니다.   축소 단관의 경우 지점 1의 압력이 지점 2의 압력보다 높으므로 임계 압력보다 낮아질 수는 없습니다.

 

A. 확대 단관 지점 1 상태 계산 방법

지점 1(상류측)의 최저 압력은 임계 압력이므로, 지점 1의 압력은 지점 2(하류측)의 압력과 지점 1의 임계 압력 사이의 압력입니다.

만일, 지점 2의 압력이 지점 1의 임계 압력보다 낮으면, 지점 1의 압력 및 상태는 지점 1의 임계 압력 및 임계 상태로 선정됩니다.

지점 2의 압력이 지점 1의 임계 압력보다 크면, 지점 1의 압력은 지점 2의 압력(최고 압력)과 지점 1의 임계 압력(최저 압력) 사이의 압력입니다.   

한편, 앞에서도 언급하였듯이 단면적이 다른 2 단면의 유동은, 등엔트로피 과정과 등엔탈피 과정 사이의 폴리트로픽 과정이므로, 지점 1의 엔탈피 최대값은 지점 2의 상태로부터 등엔트로피 과정으로 팽창할 때의 엔탈피 값이고, 지점 1의 엔탈피 최소 값은 등엔탈피 팽창시의 엔탈피인 지점 2의 엔탈피입니다.

이러한 압력과 엔탈피 조건을 만족하면서, 운동 방정식을 만족시키는 상태를 시행 착오법에 의해 구하면 됩니다.

 

B. 축소 단관 지점 1 상태 계산 방법

축소 단관의 지점 1 상태 계산 방법도 확대 단관 계산 방법과 동일합니다.   단지 다른 점은 지점 1이 임계 상태에 놓일 수 없으므로, 임계 압력을 계산하거나 비교할 필요가 없으며, 조사하는 압력 범위가 P2 < P1 < P0 이라는 점입니다.

 

5. ES_CriFlow의 증기의 압축성 유동 해석 (차례)

증기의 성질은 일정하지 않아, 하나의 식으로 표현할 수 없습니다.  그래서 이상 기체를 위해 유도된 식들을 그대로 사용하지 않으며, 대부분의 경우 보완 식이나 실험 식들을 추가로 사용합니다.  과열 증기(Superheated Steam)의 경우에는 이상 기체에 가까운 유동을 나타내므로 이상 기체의 식들을 그대로 사용하기도 하나 포화 증기(Saturated Steam)나 포화 수(Saturated Water)의 경우에는 이상 기체의 식들을 거의 사용할 수 없습니다.  

그래서 이전의 증기의 압축성 유동을 다루는 발전소 엔지니어링 관련 문헌들에서는 여러 가지 보완 식이나 실험 식들을 제시했었습니다.   하지만, 이들 문헌들의 목표는 정확한 증기의 압축성 유동을 해석하기 위한다기 보다는, 그들 식에 의해 계산된 엔지니어링 결과가 충분한 여유를 갖는 설계 값을 제시할 수 있는데 만족하는 수준이었습니다.   특히, 그 시절에는 지금과 같이 고속의 컴퓨터를 손쉽게 개인적으로 소유, 작동할 수 없었던 때라, 모든 해석을 식이나 혹은 식으로 해결이 안되는 경우에는 그래프를 이용해 계산하도록 해야 하기 때문에 어쩔 수 없이 여러 가지 가정과 실험식을 사용할 수밖에 없었습니다.

하지만, 지금은 고속의 컴퓨터를 엔지니어 개개인이 모두 사용할 수 있는 시대이므로, 이들 계산을 굳이 정확하지 않은 보완 식이나 실험 식들을 사용해 계산할 필요가 없어졌습니다.   증기 표와 기본 유체 역학 이론을 사용하는 경우, 비록 그 반복 계산 양이 방대하여 몇 분 정도의 시간이 걸릴지라도 컴퓨터로 정확히 계산할 수 있습니다.

ES_CriFlow는 그러한 목적으로 개발된 엔진이며, 그 해석 방법은 다음과 같습니다.

 

5.1 노즐 (차례)

5.1.1 설계 입력 조건

설계 입력 조건은 다음과 같습니다.

-

입구측 정지 조건, 즉 유속 = 0 인 경우의 조건을 알 수 있는 성질 2개.  예를 들어 압력과 온도 혹은 압력(P1)과 엔탈피(H1) 등.

-

출구측 압력 (P3)

 

 

5.1.2 임계 압력 및 노즐 목 압력(P2), 단위 면적당 질량 유량

증기 표와 컴퓨터를 이용해 노즐 유동의 기본 식을 이용한 증기의 압축성 유동 해석 방법은 다음과 같습니다.   노즐에서의 마찰은 무시할 정도로 작으므로, 증기의 노즐 유동도 등엔트로피 과정으로 해석합니다.

입구측 조건(P1, S1)으로부터 등엔트로피 과정으로 팽창하는 입구측 압력 이하의 압력 가운데, 음속에 의한 속도에너지가 엔탈피 낙차와 동일해지는 압력, 즉 임계 압력(Pc)를 시행 착오법에 의해 증기 표에서 구합니다.

노즐 출구측 압력 P3와 위에서 구한 임계 압력 Pc를 비교하여, 노즐 출구 압력 P2를 선정한 후(3절 참조), 선정한 P2와 입구측 엔트로피 S1으로 증기 표에서 나머지 조건을 구하고, 유속을 구해 단위 면적당 질량 유량을 구합니다.

 

5.2 마찰이 존재하는 단열 배관 (차례)

앞에서 설명하였듯이, 노즐 유동의 경우에는 두 지점간의 상태 변화를 등엔트로피 팽창 과정으로 연관 지울 수 있으므로, 입구측 조건과 출구측 압력을 알면, 바로 임계 압력과 단위 면적당 질량 유량을 계산할 수 있지만, 마찰이 존재하는 단열 배관의 경우에는 두 지점간의 상태 변화를 연관 지울 수 있는 고정된 과정이 존재하지 않으므로, 입구측 조건과 출구측 압력 외에 단위 면적당 질량 유량과 배관의 마찰 저항 계수(Resistance Coefficient)를 알아야만 그 팽창 과정을 계산할 수 있습니다.   

발전소 엔지니어링 과정에서 해석해야 하는 압축성 유동 문제는 다음과 같은 2가지 유형입니다.

하나는, 정지 상태의 배관 입구측 조건과, 배관 단면적, 질량 유량, 그리고 배관 출구측 압력이 주어진 상태에서 배관 입구와 출구의 상태를 구하는 문제입니다.   이러한 유형의 문제는 유량이 조절되는 계통의 압축성 유동을 해석할 때 발생하며, 안전 변의 배기 배관 해석(Safety Valve Vent Stack Analysis)이나 급수 가열기의 배수 배관 선정(Cascade Heater Drain Line Sizing)과 같은 문제가 이러한 유형의 문제입니다.

둘째는, 정지 상태의 배관 입구측 조건과, 배관 단면적, 그리고 배관 출구측 압력이 주어진 상태에서, 최대 질량 유량과 배관 입,출구의 상태를 구하는 문제입니다.    증기 배관 세정을 위한 임시 대기 방출 해석(Temporary Blow-out Analysis)이 이러한 유형의 문제입니다.

하지만 두 번째 문제는 첫 번째 문제의 반복 계산으로 볼 수 있습니다.  즉, 질량 유량을 반복적으로 키워가면서 배관 입구 압력이 입구측 압력과 같아지는 상태를 구하면 되는 것입니다.

그러므로, 발전소 엔지니어링 과정에서 필요한 압축성 유동 해석은 첫 번째 유형의 문제이며, 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

증기 표와 기본 방정식만을 사용해, 마찰이 존재하는 단열 배관 유동을 해석하는 방법은 다음과 같습니다.

 

5.2.1 설계 입력 조건

설계 입력 조건은 다음과 같습니다.

-

입구측 정지 조건, 즉 유속 = 0 인 경우의 조건을 알 수 있는 성질 2개.  예를 들어 압력과 온도 혹은 압력(P0)과 엔탈피(H0) 등.

-

출구측 압력 (P3)

-

배관 단면적 (A), 일정(Constant)

-

질량 유량 (W)

-

배관의 마찰 저항 계수 (Friction Resistance Coefficient) K = f * L / D

 

5.2.2 임계 압력(Pc)

배관 출구 엔탈피와 속도에너지의 합이 입구측 총 엔탈피와 같다는 에너지 방정식과 임계 압력에서의 유속은 음속이라는 점을 이용해 임계 압력을 구합니다.   한가지 혼동하지 말아야 할 것은, 증기의 음속은 등엔트로피 과정으로 미소 압력이 변할 때의 밀도 변화의 함수라는 점입니다.  즉, 비록 정지 상태의 증기가 배관 출구 상태로 변하는 과정은 등엔트로피 과정이 아닐지라도, 음속을 계산하는 미소 압력 변화 과정은 등엔트로피 과정이라는 것입니다.

임계 압력은 흡입측 압력(P0) 이하의 압력이어야 합니다.  만일, P0 이하의 압력에서 모든 조건을 만족시키는 상태가 존재하지 않는다면, 임계 압력은 P0 보다 큰 압력에 존재한다는 의미이며, 이는 주어진 설계 입력 조건에서는 주어진 질량 유량을 흘릴 수 없다는 의미입니다.

임계 상태의 최대 엔탈피 값은 등엔탈피 팽창 과정의 엔탈피인 H0이며, 최소 엔탈피 값은 등엔트로피 팽창 과정의 엔탈피입니다.

그러므로, 흡입측 압력(P0) 이하의 압력에서 최대 엔탈피와 최소 엔탈피 사이의 엔탈피 값을 가지면서, 음속에 의한 질량 유량이 주어진 설계 질량 유량과 동일해지는 압력이 임계 압력이며, 그 상태가 주어진 설계 입력 조건에서의 임계 압력 상태입니다.

 

5.2.3 배관 출구(지점 2) 조건

배관 출구측 압력 P3와 위에서 구한 임계 압력 Pc를 비교하여, 노즐 출구 압력 P2를 선정합니다. (3절 참조)

그리고, 등엔탈피 과정의 최대 엔탈피 값과 등엔트로피 과정의 최소 엔탈피 값 사이에서, 엔탈피 차에 의한 유속이 설계 입력 조건의 질량 유량을 만족시키는 엔탈피 값(H2)을 찾아, P2와 H2로 증기 표에서 나머지 조건을 구합니다.

 

5.2.4 배관 입구(지점 1) 조건

배관 입구 조건은 운동 방정식을 사용해 구합니다.   마찰이 존재하는 배관에서의 운동 방정식이란, 배관 입출구의 압력 차이가 마찰력과 속도 증가에 따른 운동량 변화와 동일하다는 관계를 나타내는 식입니다.

운동 방정식의 미분식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.

v * dP = f * dL / D * V^2 / 2 / g + W / A * v * dV / g

(주)

A

: 유로 단면적, m2

 

dP

: 압력 차, kg/m2

 

f

: 마찰 계수 (Friction Factor)

 

dL

: 유로 길이 차, m

 

D

: 유로 직경 혹은 수력 직경(Hydraulic Diameter), m

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

dV

: 유속 차, m/sec

 

W

: 질량 유량, kg/sec

 

v

: 비체적, m3/kg

연속 방정식의 자승 식 V^2 = (W / A)^2 * v^2을 사용해 첫 번째 항을 마찰 항을 다시 쓰면 다음과 같습니다.

v * dP = f * dL / D * (W / A)^2 * v^2 / 2 / g + W / A * v * dV / g

그런 다음 양변을 v^2 으로 나누면 다음 식이됩니다.

(1 / v) * dP = f * dL / D * (W / A)^2 / 2 / g + W / A * (1 / v) * dV / g

한편, 연속 방정식의 미분식은 다음과 같습니다.

dV = (W / A) * dv   (W / A 값은 일정하므로 상수 값임.)

연속 방정식의 미분식으로부터 구한 dV 값을 바로 위의 운동 방정식에 대입하여, 배관 입구(지점 1)에서 배관 출구(지점 2)까지 적분한 후, 마찰 저항 계수 K = f * L / D를 대입하여 정리하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.

K = { Integral(dP / v)(from P2 to P1) } / (W/A)^(2) * 2 * g - 2 * ln(v2/v1)

주)

K

: 배관의 마찰 저항 계수 (Flow Resistance Coefficient), K = f * L / D

 

dP

: 미소 압력 차 (Incremental Pressure Difference), kg/m2

 

P1

: 배관 입구 압력, kg/m2 abs.

 

P2

: 배관 출구 압력, kg/m2 abs.

 

W

: 질량 유량, kg/sec

 

A

: 배관 단면적, m2

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

v1

: 배관 입구 비체적, m3/kg

 

v2

: 배관 출구 비체적, m3/kg

이상 기체의 경우 위의 운동 방정식의 첫 항인 적분 항을, 이상 기체 상태 방정식을 사용해 해석한 식이 Fanno Line 공식입니다.   하지만 증기의 경우에는 압력과 비체적의 관계를 하나의 식으로 나타낼 수 없으므로, 미소 압력 변화에 대한 비체적 값을 증기 표로부터 구해, 미소 압력 변화 값을 비체적의 대수 평균 값으로 나누어 적분 값을 계산합니다.

입구측 압력(P0)과 앞에서 구한 배관 출구 압력(P2) 사이의 압력 가운데, 운동 방정식에 의해 계산된 마찰 저항 계수 값이 설계 입력 조건으로 주어진 마찰 저항 계수와 동일해 지는 압력이 배관 입구 압력(P1)이며, 기타 다른 조건은 위에 설명된 배관 출구(지점 2) 조건 구하는 방법과 동일합니다.

 

5.2.5 조건 성립이 안되는 경우

위와 같이 모든 조건이 주어진 상태에서 해석을 하는 경우에는 주어진 조건이 성립하지 않는 경우가 당연히 존재합니다.   그러한 경우는 다음과 같은 2가지 경우인데, 이러한 상황은 이상 기체를 Fanno LIne 공식으로 해석하는 경우에도 발생합니다.

하나는, 입구측 압력보다 낮은 어느 압력에서도, 질식 유동(Choked Flow)에서의 단위 면적당 질량 유량이 주어진 단위 면적당 질량 유량보다 작아 주어진 유량을 흘릴 수 없는 경우입니다.   질식 유동에서의 단위 면적당 질량 유량은 압력이 클수록 커집니다.   그 이유는 압력이 크면 밀도가 커져서 음속이 커지며, 아울러 밀도도 증가하기 때문입니다.   그러므로, 배관의 마찰 저항 계수에 관계 없이, 입구측 압력과 동일한 압력에서 질식 유동이 일어난다고 해도 주어진 유량을 흘릴 수 없는 경우입니다.   이 경우에는 입구측 압력을 높이거나 단면적당 질량 유량을 줄여야 합니다.

둘째는, 입구측 압력이 주어진 유량을 흘리기에 부족한 경우입니다.   노즐의 경우에는 마찰이 존재하지 않으므로, 에너지 방정식만 만족시키면 자연적으로 운동 방정식을 만족시킬 수 있지만, 마찰이 존재하는 배관의 경우에는 에너지 방정식 외에 운동 방정식을 만족시켜야 합니다.   즉, 배관 입출구의 압력 차이가, 마찰력을 극복하고 속도 증가에 따른 운동량의 변화를 일으키기에 충분해야 하는데, 주어진 입구측 압력이 이러한 조건을 만족시키기에 부족한 경우입니다.   이 경우에는 입구 압력을 높이거나, 배관의 마찰 저항 계수를 줄이거나, 단면적당 질량 유량을 줄여야 합니다.

 

5.2.6 프로그램 변수의 민감도

프로그래밍 과정에서 몇 가지 주요 변수들에 대한 민감도를 확인한 결과는 다음과 같습니다.

1)

음속을 구할 때 사용하는 압력차, dP 값으로 100 kg/m2 (= 0.01 kg/cm2)을 사용할 때나 10 kg/m2(= 0.001 kg/cm2)을 사용할 때나 음속 값의 변화는 거의 없었으며, 프로그램에서는 100 kg/m2을 사용하였습니다.

2)

운동량 방정식에서 압력에 대한 비체적 적분 값 Integral(dP/v)을 계산할 때. 이전 압력에 대하여 일정 퍼센트를 증가시켜 다음 압력을 설정하였습니다.  이 때 압력의 증가 퍼센트와 비체적의 감소 퍼센트가 대체로 일치하였으며, 압력 증가 퍼센트를 1%로 하나 0.1%로 하나 적분 값은 거의 차이가 없었습니다.   프로그램에서는 1%를 사용하였습니다.

3)

과냉 수(Sub-cooled Water)에 대해서도 동일한 방법으로 음속 계산을 해보았는데, 과냉 수의 경우 압력 변화에 따른 비체적 변화가 매우 작아, 데이터 베이스에서 보간 법으로 상태 값을 계산하는 증기 표의 한계로 인해, 그 계산 결과가 유효하지 않았습니다.

 

5.3 면적이 다른 2 단면에서의 압축성 유동 (차례)

면적이 다른 2 단면에서의 압축성 증기 유동은, 4.5 절에서 설명한 이상 기체에 대한 해석 방법과 동일한 방법을 사용해 해석하며, 단지 다른 점은 이상 기체 상태 방정식 및 엔탈피 식, 엔트로피 식, 정압 비열 식 대신에 증기 표를 사용한다는 점만 다릅니다.

증기 세정 배관 해석에 대한 문헌이나 안전변의 배기 배관 해석에 대한 문헌들을 보면, 확대 단관을 사용하지 말아야 한다거나 아니면 확대 단관 상하류측 배관을 별도로 해석한 다음, 2 배관 사이에 엔트로피 증가의 법칙 성립 여부와 운동량 보존의 법칙의 성립 여부를 확인하도록 되어 있는데, 여기에서 소개하는 방법을 사용하면 확대 단관 상류측 배관에서 질식 유동(Choked Flow)의 발생 여부에 관계없이 전체 배관을 하나의 배관으로 해석할 수 있습니다.

 

참고 문헌 :  (차례)

1. Crane Technical Paper No. 410, Flow of Fluids, Crane Co., 1977

2. 유체 역학, 강창수, 하재성, 송지복, 박선중 공저, 문운당 1976

3. Principles and Practice of Flow Meter Engineering by L. K. Spink, Foxboro


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